A redukciós formulák bizonyos
alakú határozatlan integrálokra adnak rekurziót.
Ezek a rekurziók gyakran jól alkalmazhatók bizonyos határozott integrálok kiszámítására.
Legfontosabb redukciós formulák[szerkesztés]
Trigonometrikus redukciós formulák[szerkesztés]
![{\displaystyle \int \sin ^{n}xdx={\frac {(n-1)}{n}}\int \sin ^{n-2}x\,dx-{\frac {1}{n}}\sin ^{n-1}x\,\cos x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8c747eda85e9771a49773164923bbe6f9b3aff1)
![{\displaystyle \int \cos ^{n}xdx={\frac {(n-1)}{n}}\int \cos ^{n-2}x\,dx+{\frac {1}{n}}\cos ^{n-1}x\,\sin x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47be52e011d95d7c43527a274c5b0a1710293dc7)
A két formula levezetése analóg, mi csak az elsőt mutatjuk be. Parciálisan integrálva:
, ahol
.
Visszaírva és, rendezve:
, ami már maga a redukciós formula.
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}={\frac {1}{2n-2}}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}+{\frac {2n-3}{2n-2}}\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a422c7eec7b518e9221ec13404256a89ec7ee38)
Hogy ezt belássuk, a számlálót írjuk át:
![{\displaystyle \int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n}}}=\int {\frac {dx}{(1+x^{2})^{n-1}}}-\int {\frac {x^{2}}{(1+x^{2})^{n}}}\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08143986c7545c98f12e03eb6a0d63f5687f34d3)
Parciálisan integrálva:
, amit rendezve már a kívánt formulához jutunk.
Parciálisan integrálva kapjuk, hogy
![{\displaystyle \int x^{n}e^{ax}\,dx={\frac {1}{a}}\left[{a}x^{n}e^{ax}-n\int x^{n}e^{ax}\,dx\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/888d48db2b21a8ce2f2d187493bf7c6c275abe42)
Trigonometrikus helyettesítéseknél[szerkesztés]
Irracionális függvények határozott integráljának a kiszámításakor gyakran alkalmazhatunk olyan trigonometrikus helyettesítést, ahol az integrandusz a helyettesítés után sin, vagy cos polinomja, és a határok
többszörösei. Ekkor hasznos a következő két formula, amit a redukciós formulák alkalmazásával könnyen megkaphatunk:
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2\cdot 4\ldots 2n}{3\cdot 5\ldots (2n+1)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d57c3d60ae4562bc0053a748a0dd9754449a436b)
![{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2n}x\,dx={\frac {1\cdot 3\ldots (2n-1)}{2\cdot 4\ldots (2n)}}\cdot {\frac {\pi }{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b72ec99a8687c5cc51fdba9562bcd187d654e9b)
Racionális törtfüggvények integrálásakor[szerkesztés]
Racionális törtfüggvény primitív függvényének a meghatározásakor a függvényt parciális törtekre bontjuk. A kapott összeadandók primitív függvényét zárt alakban megkaptuk, kivéve az
alakú tagokét. Hogy ezen tagok határozott integrálját is számolhassuk, redukciós formulát alkalmazunk:
![{\displaystyle I_{n}=\int _{a}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08e9e0d0cdea5608b4d6106ad610c31c931b67a6)
![{\displaystyle I_{n}={\frac {1}{2n-2}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+{\frac {2n-3}{2n-2}}I_{n-1}={\frac {1}{2n-2}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+{\frac {2n-3}{(2n-2)(2n-4)}}{\Big [}{\frac {x}{(1+x^{2})^{n-1}}}{\Big ]}_{a}^{b}+\,\ldots \,+{\frac {(2n-3)!!}{(2n-2)!!}}{\Big [}{\text{arc tg }}x{\Big ]}_{a}^{b}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9834416c9c18910fd04424ad9bdcd060bea3f69b)
Felhasználva, hogy
,
az idevágó redukciós formulából adódik, hogy
.
A gamma-függvény szokásos definíciójával egybevetve:
![{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fcf8541920a9f7b0ad3ae3ffaf8870022cddb29)
Ugyanazt a parciális integrálást elvégezve, amit a vonatkozó redukciós formulánál elvégeztük kapjuk, hogy
.
- Banach, S.: Differenciál- és integrálszámítás, Tankönyvkiadó, 1967