Banach-tér

A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes. A funkcionálanalízis egy központi objektuma. Sok végtelen dimenziós függvénytér Banach-tér.

A pontos definíció tehát a következő:

A $V$ vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle $d(a,b):=||a-b||$ összefüggéssel származtatott $d$ távolságra nézve a $V$ tér teljes, vagyis a $V$ térben minden Cauchy-sorozat konvergens.

Metrikus tereknél a teljesség a metrika tulajdonsága, nem pedig magáé a topologikus téré. Ekvivalens metrikára (ami ugyanazt a topológiát generálja) áttérve a teljesség elveszhet. Azonban ekvivalens normákkal ez nem történhet meg; azaz, ha az egy norma által indukált metrikában teljes a tér, akkor a vele ekvivalens normák által indukált metrikákban is teljes. A normált terek esetén a teljesség a norma által indukált topológia tulajdonsága, ami független a konkrét normától.

Elnevezés

A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi, aki 1920–1922-ben Hans Hahnnal és Eduard Hellyvel közösen tanulmányozta. 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt $l^{p}$ tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az $l^{p}$ terek absztrahálásából született fogalom.

Példák

1. Az $l^{p}$ (${\mbox{ }}{p\in [1;\infty )}$ ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.

2. Az adott $[a,b]$ intervallumon folytonos függvények $C[a,b]$ tere Banach-tér a szuprémum normával.

3. Az adott $[a,b]$ intervallumon korlátos változású függvények $V[a,b]$ tere Banach-tér.

4. Az $n$-dimenziós $E_{n}$ euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.

5. A komplex számokból képzett $n$-dimenziós vektorok Cⁿ tere is Banach-teret alkot.

Néhány fontos tulajdonság

A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.

Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogrammaazonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).

Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).

Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.

Egy normált tér pontosan akkor Banach-tér, ha minden abszolút konvergens sorozat konvergens.

Minden normált tér teljessé tehető, így egy Banach-teret kapunk, ami a normált teret sűrű altérként tartalmazza.

Ha egy két normált tér közötti $T\colon X\rightarrow Y$ lineáris leképezés izomorfizmus, akkor, ha $X$ teljes, akkor $Y$ is teljes.

Minden véges dimenziós normált tér Banach-tér. Megfordítva, ha egy Banach-tér bázisa legfeljebb megszámlálható végtelen, akkor az véges dimenziós. Ez utóbbi a teljes metrikus terekre vonatkozó Baire-tételből következik.

Ha $M$ zárt altere az $X$ Banach-térnek, akkor $M$ szintén Bach-tér. Az $X/M$ faktortér is Banach-tér az $\|x+M\|=\inf \limits _{m\in M}\|x+m\|$ normával.

A Banach-terek első izomorfiatétele: Ha egy két Banach-tér közötti $T$ korlátos lineáris leképezés képe zárt, akkor $X/\operatorname {ker} (T)\cong T(X)$. Itt a topologikus izomorfia fogalmáról van szó, vagyis létezik egy $L$ bijektív lineáris leképezés, ami leképezi az $X/\operatorname {ker} (T)$ teret a $T(X)$ térre, hogy $L$ és $L^{-1}$ is folytonos.

Normált terek egy $X_{1}\oplus \cdots \oplus X_{n}$ direkt összege pontosan akkor Banach-tér, ha az összeg minden $X_{j}$ tagja Banach-tér.

A Banach–Steinhaus-tétel szerint, ha $(T_{i})_{i\in I}$ Banach-térből normált térbe menő folytonos lineáris operátorok egy családja, akkor a pontonkénti korlátosságból következik az egyenletes korlátosság.

A nyílt leképezés tétele: Egy két Banach-tér közötti $T$ folytonos lineáris leképezés pontosan akkor szürjektív, ha nyílt. Ha $T$ bijektív és folytonos, akkor a $T^{-1}$ inverz leképezés is folytonos. Ebből következik, hogy minden Banach-terek közötti bijektív korlátos lineáris operátor izomorfizmus.

A zárt grafikon tétele: Egy $T\colon X\to Y$ lineáris leképezés grafikonja pontosan akkor zárt az $X\times Y$ szorzattérben, ha a leképezés folytonos.

Banach–Alaoglu-tétel: Egy Banach-tér duális terében egy zárt egységgyolyó gyengén *-kompakt.

Minden szeparábilis $X$ Banach-térben létezik egy $M$ zárt altere $l^{1}$-nek úgy, hogy $X\cong l^{1}/M$.

Minden Banach-tér egyben Fréchet-tér.

Lineáris operátorok

Ha $X$ és $Y$ normált terek ugyanazon $\mathbb {K}$ valós vagy komplex test fölött, akkor az összes folytonos $\mathbb {K}$-lineáris $T\colon X\rightarrow Y$ leképezés halmazát $B(X,Y)$ jelöli.

Végtelen dimenziós terekben a lineáris leképezések nem feltétlenül folytonosak.

Ekkor $B(X,Y)$ egy $\mathbb {K}$-vektortér, melyen

$\|T\|:=\mathrm {sup} \{\|Tx\|:x\in X{\text{ ahol }}\|x\|\leq 1\}$

norma. Ha $Y$ Banach-tér, akkor $B(X,Y)$ is Banach-tér.

Ha $X$ Banach-tér, akkor $B(X)=B(X,X)$ Banach-algebra az $\mathrm {id} _{X}$ identitásoperátorral, mint egységelemmel. A szorzás a kompozíció.

Duális tér

Ha $X$ normált tér a $\mathbb {K}$ test fölött, akkor $\mathbb {K}$ szintén Banach-tér az abszolútértékkel, mint normával. Értelmezhető a topologikus duális tér, mint $X'=B(X,\mathbb {K} )$. Általában a $X^{*}$ algebrai duális tér valódi altere.

• Ha $X$ normált tér, akkor $X'$ Banach-tér.
• Legyen $X$ normált tér; ekkor, ha $X'$ szeparábilis, akkor $X$ is szeparábilis.

A topologikus duális tér használható arra, hogy topológiát definiáljunk az $X$ téren: a gyenge topológiát. A gyenge topológia nem ekvivalens az $X$ normája által indukált topológiájával, ha $X$ dimenziója végtelen. A normatopológiában való konvergenciából következik a gyenge topológiában való konvergencia, megfordítva azonban nem. Ebben az értelemben a gyenge topológiából adódó konvergenciafeltétel gyengébb.

Létezik egy $F$ természetes leképezés $X$-ből $X''=(X')'=B(X',\mathbb {K} )$-be, a biduális térre, úgy, mint: $F\colon X\to X'',F(x)(f)=f(x)$ minden $x\in X$ és $f\in X'$ esetén. A Hahn–Banach-tételből következik, hogy minden $X$-beli $x$-re az $F(x)\colon X'\to \mathbb {K}$ folytonos, ezért $X''$ egy eleme. Az $F$ leképezés injektív és folytonos, sőt, izometrikus.

Reflexivitás

Ha a $F\colon X\to X''$ leképezés szürjektív is, így izometrikus izomorfizmus, akkor az $X$ normált tér reflexív.

Minden reflexív normált tér Banach-tér.

Egy $X$ Banach-tér pontosan akkor reflexív, ha $X'$ reflexív. Ezzel az állítással ekvivalens, hogy $X$ egységgolyója a gyenge topológiában kompakt.

Ha $X$ reflexív normált tér, $Y$ Banach-tér és létezik egy korlátos lineáris operátor $X$-ből $Y$-ba, akkor $Y$ reflexív.

Legyen $X$ reflexív normált tér; ekkor $X$ pontosan akkor szeparábilis, ha $X'$ is szeparábilis.

James-tétel: Egy $X$ Banach-térre ekvivalensek:

• $X$ reflexív.
• $\forall f\in X'\ \exists x\in X$, ahol $\left\|x\right\|\leq 1$, teljesül, hogy $f(x)=\left\|f\right\|$.

Tenzorszorzás

A tenzorszorzat univerzális tulajdonsága

Legyenek $X$ és $Y$ vektorterek ugyanazon $\mathbb {K}$ test fölött! Ekkor $X$ és $Y$ tenzorszorzata egy $\mathbb {K}$ fölötti $Z$ vektortér, ellátva egy $T\colon X\times Y\rightarrow Z$ bilineáris leképezéssel, amire teljesül az univerzális tulajdonság: Ha $T'\colon X\times Y\rightarrow Z'$ tetszőleges bilineáris leképezés egy $\mathbb {K}$ fölötti $Z'$ vektortérben, akkor létezik pontosan egy $f\colon Z\rightarrow Z'$ lineáris leképezés úgy, hogy $T'=f\circ T$.

Különböző lehetőségek vannak a tenzorszorzat normával való ellátására; így keletkezik például a projektív tenzorszorzat és az injektív tenzorszorzat. Teljes terek tenzorszorzata nem feltétlenül teljes. Emiatt a Banach-terek elméletében tenzorszorzaton gyakran a terek tenzorszorzatának teljessé tételét értik, ami függ az alkalmazott normától.

Besorolása a matematikai struktúrák közé

Minden Hilbert-tér Banach-tér is, de ez megfordítva nem igaz. A Jordan–Neumann-tétel szerint egy Banach-tér pontosan akkor látható el a normához illeszkedő skalárszorzattal, ha teljesíti a paralelogrammaegyenlőséget.

A funkcionálanalízisben fontos terek egyike például a végtelenszer folytonosan differenciálható $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ függvények tere, vagy az $\mathbb {R}$-en értelmezett disztribúciók tere teljesek, de mivel nem normált vektorterek, azért nem Banach-terek. A Fréchet-terekben van még teljes metrika is, míg az LF-terek teljes uniform vektorterek, melyek a Fréchet-terek határeseteként felmerülnek. Itt lokálisan konvex terek, illetve topologikus vektorterek speciális osztályairól van szó.

Minden normált tér izometrikus izomorfia erejéig egyértelműen teljessé tehető, ami azt jelenti, hogy sűrű altérként Banach-térbe ágyazható.

Fréchet-derivált

Lehetséges $f\colon V\to W$ típusú függvényeket is deriválni, ahol $V$ és $W$ Banach-terek. Intuició szerint, ha $x$ a $V$ Banach-tér eleme, akkor $f$ deriváltja az $x$ pontban egy folytonos lineáris leképezés, ami az $x$ pont közelében az $f$ függvényt a $\vert h\vert$ távolság rendjében approximálja.

Az $f$ függvény Fréchet-differenciálható az $x$ pontban, hogyha van egy $A\colon V\to W$ folytonos lineáris leképezés úgy, hogy

$\lim _{h\to 0}{\|f(x+h)-f(x)-A(h)\| \over \|h\|}=0$.

Itt a határérték az összes, nullvektor elemet nem tartalmazó $V$-beli sorozaton van értelmezve, ami a nullvektorhoz tart. Ha ez a határérték létezik, akkor azt mondjuk, hogy $Df(x)=A$, és ez $f$ Fréchet-deriváltja az $x$ pontban. A derivált további általánosításai véges dimenziós terek analízisével analóg módon vezethetők be. Az összes deriváltfogalomban közös a $Df(x)$ lineáris leképezés folytonossága.

A deriváltnak ez a fogalma az $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ függvények közönséges deriváltjának egy általánosítása, mivel az összes $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ lineáris leképezés konstanssal való szorzás.

Ha az $f$ függvény $V$ minden pontjában differenciálható, akkor $Df\colon V\to L(V,W)$ szintén Banach-terek közötti leképezés, de általában nem lineáris leképezés. Ez is ugyanúgy differenciálható lehet, így $f$ magasabb rendű deriváltjai is definiálhatók. Az $x$-beli $n$-edik derivált egy $V_{n}\to W$ multilineáris leképezés.

A differenciálás lineáris leképezés a következő értelemben: Ha $f$ és $g$ $V\to W$ leképezések, melyek differenciálhatók ugyanabban az $x$ pontban, továbbá $r$ és $s$ skalárok $\mathbb {K}$-ból, akkor $rf+sg$ is differenciálható az $x$ pontban, és

$D(rf+sg)(x)=rD(f)(x)+sD(g)(x)$.

A láncszabály is teljesül ebben az összefüggésben. Ha $f\colon V\to W$ $x\in V$-ben és $g\colon W\to X$ $f(x)$-ben differenciálható, akkor $g\circ f$ differenciálható az $x$ pontban, és a derivált:

$D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x).$

Az irány menti deriváltak is általánosíthatók végtelen dimenziós vektorterekre; erre egy lehetőség a Gâteaux-derivált.

Banach-térbeli értékű függvények integrációja

Bizonyos feltételek teljesülése esetén lehetséges értékeiket Banach-térből felvevő függvényeket integrálni. A 20. században több különböző megközelítés is született az értékeiket Banach-térből felvevő függvények integrációjának elméletéhez. Ezek közé tartozik a Bochner-integrál, a Birkhoff-integrál és a Pettis-integrál. Véges dimenziós Banach-terekben mindezek a megközelítések ugyanahhoz az integrálhoz vezetnek, de ez végtelen dimenzióban nem feltétlenül teljesül. Távolabbról az áttérés a közönséges mértékekről a vektoriális mértékekre való áttérésről lehet beszélni, melyek értékeiket Banach-terekből veszik fel, és integrált definiálni ezeken a mértékeken.

A Banach-terek a Bochner–Lebesgue-normával típus és kotípus szerint osztályozhatók.

Források

• Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
• Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
• Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8