A számelméletben az Euler-szorzat a Dirichlet-sor prímszámokkal indexelt kiterjesztése a végtelenbe. Az elnevezés abból ered, hogy a Riemann-féle zéta-függvény esetét Euler tanulmányozta, és ő bizonyította be annak végtelen szorzat reprezentációját.
Általában, ha az a függvény multiplikatív, akkor a
![{\displaystyle \sum _{n}a(n)n^{-s}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43c3b685024b5c7a155b15b818d9ca438c2c17cd)
Dirichlet-sor egyenlő a következővel:
![{\displaystyle \prod _{p}P(p,s)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38091adc08bca1ff3f2ab5953cabfd51e38042bc)
ahol a szorzatot a prímek fölött veszik, és
éppen az
![{\displaystyle 1+a(p)p^{-s}+a(p^{2})p^{-2s}+\cdots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d159e7010da0e529a50d87ac4f2e05fddec45715)
összeg.
Hogyha ezeket formális generátorfüggvénynek tekintjük, akkor adódik, hogy egy efféle formális Euler-szorzat kiterjesztése szükséges és elégséges feltétele az a függvény multiplikativitásának. Eszerint
azoknak a különböző
értékeknek szorzata, ahol p prímosztója n-nek, és n prímtényezős felbontásában p éppen k-szor szerepel.
Speciálisan, ha
teljesen multiplikatív, akkor
egy mértani sor. Ekkor
![{\displaystyle P(p,s)={\frac {1}{1-a(p)p^{-s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f598c56f6a59067e016f9cff76051a237f2aa7)
mint a Riemann-féle zéta-függvény esete, és általánosabban, a Dirichlet-karakterek esetén.
A gyakorlatban a végtelen soroknak azok a speciális esetei érdekesek, amikor a sor abszolút konvergens. Ezen a tartományon a sor összege nem lehet nulla, így itt a tényezők sem lehetnek nullák.
A moduláris formák tétele szerint tipikus, hogy itt a nevezők másodfokú polinomok. Az általános Langlands-elmélet tartalmaz egy hasonló fejtegetést az m-edfokú polinomokkal kapcsolatban, és a reprezentációelmélet is hasonlót
mond GLm-ről.
A Riemann-féle zéta-függvényhez kapcsolódó Euler-szorzat a mértani sor összegének felhasználásával
.
A
Liouville-függvényre
![{\displaystyle \prod _{p}(1+p^{-s})^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a81fa138578d5eb10f0f339c767d391bd94acd5b)
Reciprokaikat felhasználva a
Möbius-függvény két Euler-szorzata
![{\displaystyle \prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6ee1b3a5c1efca3b477c199a06836bee4070d2)
és
![{\displaystyle \prod _{p}(1+p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02894d1eac5972e65eadeaa95ea8ba00929f8427)
A kettő hányadosa:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}{\frac {1+p^{-s}}{1-p^{-s}}}{\Big )}=\prod _{p}{\Big (}{\frac {p^{s}+1}{p^{s}-1}}{\Big )}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e1f8fda5b17a6a58a9446d518cdc54a8c7b3316)
Mivel páros számokra a Riemann-féle zéta-függvény értéke
és egy racionális szám szorzata, ez a végtelen szorzat racionális számot ad értékül páros hatványokra. Például, mivel
,
, és
,
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}{\frac {p^{2}+1}{p^{2}-1}}{\Big )}={\frac {5}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cb4d57cc70ba6cf673d29ded76668f15da981c8)
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}{\frac {p^{4}+1}{p^{4}-1}}{\Big )}={\frac {7}{6}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7626ec7e4640d25df2a943ac9f00f95599423d1)
és így tovább, ami Ramanudzsan első eredménye. Ez a végtelen szorzat a következővel is ekvivalens:
![{\displaystyle \prod _{p}(1+2p^{-s}+2p^{-2s}+\cdots )=\sum _{n=1}^{\infty }2^{\omega (n)}n^{-s}={\frac {\zeta (s)^{2}}{\zeta (2s)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48d8cdbb64c2d0ac55e59e180375e9c20e90656d)
ahol
az n különböző prímosztóinak számát jelöli. és
a négyzetmentes osztók száma.
Hogyha
az N konduktor Dirichlet-karaktere, akkor
teljesen multiplikatív, és
csak n maradékosztályától függ modulo N, és
akkor és csak akkor, ha n nem relatív prím. Ekkor
.
Itt kényelmesebb elhagyni az N konduktor prímosztóit a szorzatból. Ramanudzsan megpróbálta általánosítani az Euler-szorzatot a zéta-függvényre:
![{\displaystyle \prod _{p}(x-p^{-s})\approx {\frac {1}{\operatorname {Li} _{s}(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb6c1e4d5f47733050f3b4371db7ca5a98fc2fbb)
minden
-re, ahol
a polilogaritmus.
-re a fenti szorzat nem más, mint
Sok ismert konstansnak van Euler-szorzatos kifejtése:
A Leibniz-formula a π-re:
![{\displaystyle \pi /4=\sum _{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cd225aa51fd272662e21cf956dc82715096fc2)
értelmezhető Dirichlet-sorként az egyetlen modulo 4 Dirichlet-karakter segítségével, és szuperpartikuláris arányok Dirichlet-szorzatává alakítható:
![{\displaystyle \pi /4=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ce446058e5c0cf6ff99291c2419c2e15ab3a0b8)
ahol minden számláló prím, és a nevező a legközelebbi néggyel osztható szám.[1]
További Euler-szorzatok:
Ikerprím-konstans:
![{\displaystyle \prod _{p>2}{\Big (}1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}{\Big )}=0,660161...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0594ee871d3298a3d7294e499906f9d4d24827c)
Landau-Ramanudzsan-konstans:
![{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\prod _{p=1\,{\text{mod}}\,4}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\Big )}^{1/2}=0,764223...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6553b54a6ba622129afa54667f3e9e544ac9a0df)
![{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\prod _{p=3\,{\text{mod}}\,4}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\Big )}^{-1/2}=0,764223...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126bd9258be35437cdd4ffd23869ffd1dfcabc52)
Murata-konstans (A065485 sorozat az OEIS-ben):
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{(p-1)^{2}}}{\Big )}=2,826419...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8687dd6fd42c00e51bfa79b37ba0b6cb17cc3827)
Erősen gondtalan konstans
A065472:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{(p+1)^{2}}}{\Big )}=0,775883...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4db3d299abdade052f9b34bb9abaf3f5372ffb90)
Artin-konstans
A005596:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p(p-1)}}{\Big )}=0,373955...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf2e4dc162888c0abd2d1c14267ef6bbed0fa7f)
Landau-konstans
A082695:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{p(p-1)}}{\Big )}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3)=1,943596...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d404f063a7fbdba50bae3145c3b39749bf8770f)
Gondtalan konstans
A065463:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p(p+1)}}{\Big )}=0,704442...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aaf9e994ba3f69b2f46872426b7d7f8a5afcb3f)
Reciproka
A065489:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{p^{2}+p-1}}{\Big )}=1,419562...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd9a9c62c72f4a7a08476a0ef8c74c4d4d8f4878)
Feller-Tornier-konstans
A065493:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\prod _{p}{\Big (}1-{\frac {2}{p^{2}}}{\Big )}=0,661317...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc2171750d39d14341b989d2c6d3015b677046a)
Kvadratikus osztályszám konstans
A065465:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p^{2}(p+1)}}{\Big )}=0,881513...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1261e3f28e5aacd424c63d4fb4ab4adaf7050445)
Totient összegzési konstans
A065483:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}{\Big )}=1,339784...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b70ee5a744637c86aabb494d6290286fc605981)
Gondtalan konstans
A065464:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {2p-1}{p^{3}}}{\Big )}=0,428249...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7560ed7681502aa077040e3542601c3c780c0dc)
Erősen gondtalan konstans
A065473:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {3p-2}{p^{3}}}{\Big )}=0,286747...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/258b9b212ac1f5eb345e0e7b08ed02a0f2600c4c)
Stephens-konstans:
A065478:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {p}{p^{3}-1}}{\Big )}=0,575959...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/185083002ec581ec7e1361bfa03a13e878ca5bac)
Barban-konstans:
A175640:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1+{\frac {3p^{2}-1}{p(p+1)(p^{2}-1)}}{\Big )}=2,596536...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b23588c548b7cf50f933ffb0403d6caa8a73fcf9)
Heath-Brown–Moroz-konstans
A118228:
![{\displaystyle \prod _{p}{\Big (}1-{\frac {1}{p}}{\Big )}^{7}{\Big (}1+{\frac {7p+1}{p^{2}}}{\Big )}=0,0013176...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0218ee556acff7005368fba18da8672248af728)
- G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
- Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3* G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
- George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
- G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"